第 1 章极限  

极限理论是微积分学的基础，是微积分中研究函数性质、表述基本概念的重要工具，是

微积分中的基本语言。

极限思想早在两千多年前就已出现，如春秋战国时期(BC400)的《庄子·天下篇》中的“一

尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现的就是极限的思想．

阿基米德（BC300）求曲边三角形面积的方法就是极限思想的具体体现。

我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”也是最早的极限应用之一．刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．

芝诺悖论：芝诺描述了古希腊运动员阿基里斯与乌龟之间的一场赛跑．为了显示公平，

允许乌龟先跑一段距离，尽管阿基里斯获胜是显然的，但芝诺却给出了阿基里斯永远也不会

超过乌龟的结论．其理由是：为了追上乌龟，阿基里斯必须先将他与乌龟之间的距离缩短

一半，接着他又必须将余下的距离缩短一半，如此等等，无穷反复．因此，阿基里斯必须

经过无穷多个“距离缩短一半”的阶段，才能追上乌龟．

连续复利问题

假设我们将1万元钱存入银行，银行提供的年利率为r，按复利计算．

一年期满，得到的钱数是

1+ 1*r=1 +r ．

圆与抛物线在一点的切线

圆在一点的切线是垂直于过该点的半径的直线．

所谓数列极限，指的是当数列{an}中的下标n趋向无穷时，对应的值an趋向于某个确定值．

数列极限在几何上的一个早期应用—割圆术．

单调有界收敛定理是极限理论中的一个重要结论，是微积分中判断极限存在的基本方法

之一

单调有界收敛定理是判断极限存在，尤其是判断数列极限存在的重要方法．当数列通项给出时，如果得到了它的单调性，就可以通过适当的放缩判断它是否有界，进而判断它是否收敛．当数列以递推关系的形式给出时，利用单调有界收敛定理判断其是否收敛更是经常用的方法

无穷大量的倒数是同一极限过程下的无穷小量，非零无穷小量的倒数是同一极限过程下的无穷大量．

在自变量的同一个趋向下，有界函数与无穷小量的乘积还是无穷小量．

在自变量的同一个趋向下，两个无穷小量的和、差、乘积仍为无穷小量．

在自变量的同一个趋向下，两个无穷小量的和、差、乘积仍为无穷小量，但两个无穷小量之商却可能会出现不同情况．